Figuras Geométricas en madera; curvas, cónicas y el Cono de Apolonio.

Introducción

Dice el dicho que «la madera es algo vivo» para referirse a su naturaleza cambiante según el grado de humedad ambiental; todos hemos oído o dicho eso de que “se ha hinchado la puerta” o aquello de que “el cajón no entra”.  Pero la expresión adquiere tintes palmarios cuando vemos girar en el torno un bloque de madera cualquiera, ya sea más o menos cilíndrico o poliédrico.
A nuestro ojo todo cuerpo sólido girando a 3300 revoluciones por minuto se convierte en algo cilíndrico –o mejor dicho curvo- y cuando aproximas la gubia, los cortes dados parecen trazos tridimensionales que provocan la aparición de conos, cilindros, esferas, formas troncocónicas, elipsoidales, de casquete esférico o hemisférico…. Es la magia del torneado artesano de la madera.
Y ese es mi oficio; soy un tornero manual de madera que tengo un Taller Artesano en la provincia de Valladolid en el que trabajo yo sólo, por lo que la producción es muy limitada y alejada de las tiradas industriales. Para conocer pormenores del taller o del trabajo puede visitarse la Web: www.artmadera.com
Los redactores del Boletín de la Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas consideraron oportuno invitarme a publicar breves apuntes de alguna de mis figuras geométricas y acepté con la humildad propia de un tornero de madera en un ámbito científico tan alejado de mis quehaceres habituales entre virutas. Espero sepan disculpar mis limitaciones.
Centraré mi exposición en el llamado Cono de Apolonio y las secciones cónicas y a vuelapluma trataré de otra pieza que conjuga matemáticas y física, la llamada “paradoja mecánica” o “paradoja dinámica”. Empezaremos por esta última.

1. “Paradoja mecánica” o “paradoja dinámica”.

El doble cono que “cae hacia arriba” o que “sube bajando” por un plano inclinado. La sensación es que el doble cono asciende por el plano inclinado vulnerando las leyes de la física, pero en realidad su centro de gravedad cae.
Consiste en un doble cono torneado de madera unido por la base, un cilindro torneado y dos listones unidos formando un plano inclinado. Al hacer la demostración comprobamos que mientras el cilindro desciende tal y como suponemos a lo largo del plano inclinado, el doble cono no sólo no desciende en el mismo sentido que le cilindro, sino que sube la rampa, infringiendo aparentemente las leyes de la dinámica . En realidad en ambos casos el baricentro del cuerpo en movimiento desciende.
La paradoja de esta pieza, que en apariencia tiene más que ver con la física y las leyes gravitatorias que con otra cosa, debe a la geometría del montaje su efecto. La “V” que forman los dos listones del plano inclinado interactúa con la otra “V” que diseña el doble cono unido por la base; pero su centro de gravedad va cayendo.

Poco cabe reseñar de su elaboración técnica, pues la dificultad máxima radica exclusivamente en las medidas de la inclinación del plano y en la longitud y diámetro máximo del doble cono. Si todas son exactas, el efecto dinámico es óptimo. Se manufacturan en maderas densas para que el peso del centro de gravedad sea el adecuado: Roble, Castaño, Olmo o Palo Rojo.

2. El Cono de Apolonio. Las secciones cónicas.

Esta figura de madera, puesta de relevancia tras el estreno de la película Ágora de A. Amenábar, que trata sobre la vida de Hipatia, hija de Teón, matemática y astrónoma, formaba parte del elenco didáctico de nuestras escuelas del siglo pasado. Me puso tras la pista un cliente, arquitecto de profesión, quién me comentó que él ya conoció ese tipo de cono en la escuela cuando era niño; se trataba de un cono equivalente a éste –pero no idéntico- con el que se hacían prácticas en las escuelas; junto a él había otras figuras como el cilindro, la esfera, el cubo, prismas, pirámides, etc. Era el “maletín de las figuras geométricas de madera”. Más tarde, gracias a una eminente astrofísica catalana que posee uno de estos  “conos de Apolonio” de madera, pude conocerlos y me fue más fácil rastrear su existencia, dado que antiguamente en casi todos los colegios había uno.

A raíz de la proyección de la película y de la aparición, en dos  escenas, del cono que había construido la protagonista Hipatia, un estudiante de matemáti-cas, pidió a través de un foro de torneros de madera en Internet , que si alguien sabía donde se podría comprar un objeto como ése, o si alguien era capaz de hacerlo, porque llevaba mucho tiempo buscándolo y no lo encontraba en ningún sitio. A raíz de esa intervención en el foro se sucedieron los comentarios e hipótesis técnicas de su construcción. Yo simplemente quedé fascinado de la sencillez formal de la pieza y de su potencia estética como elemento decorativo e instructivo. Así que un día de camino al taller, sopesé la idea de hacer un intento para ver las dificultades técnicas y me puse manos a la obra. Y conseguí hacerlo correctamente en ese primer intento, pese a que técnicamente es una pieza muy difícil de hacer, a la par que laboriosa. Todo esto ocurrió en el mes de diciembre del año 2009, y hasta hoy.

Unas consideraciones sobre las maderas que empleo en los conos. Los conos son de una única madera, porque de ese modo mantienen el veteado desde la base hasta el vértice, lo que los hace estéticamente más vistosos. Van tintados el cuerpo del cono, el círculo y la rama de la hipérbola, y la parábola y la elipse quedan en madera cruda y van levemente enceradas con cera virgen de abeja. Pero sólo levemente, porque si después del lijado lo puliera en exceso, lo convertiría en un objeto demasiado escurridizo.

Utilizo principalmente las maderas de Roble, Castaño y Nogal. Los de madera de Castaño tienen un veteado algo más marcado que los de Roble, y son más ligeros de peso. Los de Roble tienen a favor, que es una madera mucho más dura y pesada y por lo tanto más resistente a los golpes. Un cono de Roble de 40 cms. de alto viene a pesar unos 3600 gramos (1300 gramos más que uno de Casaño). El nogal es mejor madera: grano más fino, veteado más homogéneo, mejor acabado, más densa. Pero para el Cono de Apolonio el roble y el castaño tienen a su favor que al presentar tonos más claros, el contraste entre la elipse y la parábola con el resto de piezas del cono es más llamativo, y lo mismo ocurre con el veteado, que por ser más flamígero, se hace más vistoso sobre una superficie cónica.

Sobre el montaje, todas las piezas van con espigas interiores. Al tornear el círculo, ya le dejo un espigo que une con la elipse a la que después hago un taladro para que se produzca el encaje. La elipse a su vez va sujeta de arriba a bajo a la parábola. Luego en otra espiga que va cogida a la parte trasera, van sujetas la parábola y la hipérbola. Esta espiga tiene un sentido de abajo arriba, de tal manera que cuando encajas las dos piezas las empuja hacia sí .

Sería muy extenso explicar los pasos necesarios que hay que dar para elaborar un cono, ya que son muchos y muy precisos, tanto en su dibujo como a la hora de su torneado. Apuntar brevemente a modo de ejemplo, el hecho de que a la hora de su torneado se han de combinar varios factores como las dimensiones del cono, las revoluciones por minuto en que se trabaja esta pieza, y el avance manual de la gubia; si al eje de giro le aplicas mil revoluciones por minuto, nunca mantiene la misma velocidad de giro una forma cónica en ninguna de sus partes, ya que se multiplica en la base y se va reduciendo paulatinamente según llegas al vértice. Luego está el retorneado final, que te obliga  a que los cálculos iniciales sean exactos para que las secciones cónicas mantengan los ángulos correctos tras el retorneado final….. Lo dicho, ¡un trabajo artesanal!
[1] Foro de la Asociación Ibérica de Torneros Artesanos de Madera – AITAM -.

Tordesillas, a 5 de enero de 2011
Fco. Treceño Losada